POLÍGONOS

Los polígonos son muy usados desde la antigüedad, en el diseño de piedras preciosas, en la arquitectura, en símbolos como la estrella de David, entre otros. Los polígonos están presentes en todo lo que nos rodea, toma un tiempo y en tu hogar observa todos los tipos de polígonos que ahí están sin que te percates de ello.

El Polígono significa porción del plano limitado por segmentos de líneas rectas; estas rectas se llaman lados del polígono

Clasificación de Polígonos: Da Clic aquí

Los polígonos se clasifican en Regulares e irregulares.

• Los polígonos regulares se caracterizan porque las medidas de sus lados son iguales (equilátero) y las medidas de sus ángulos también son iguales (equiángulo).
  
• Por otro lado, los polígonos irregulares no tienen todos sus lados y ángulos iguales, es decir, no son equiláteros ni equiángulos.

Como se observa en las figuras anteriores, los ángulos internos van desde agudos hasta entrantes, y por lo tanto, los polígonos poseen otra clasificación; de acuerdo al tipo de ángulos que contienen se clasifican en 

Cóncavos y convexos

• Los polígonos convexos son los que poseen todos sus ángulos internos de una medida menor a 180º.

• Los polígonos cóncavos son los que poseen por lo menos un ángulo interno que es mayor de 180º y menor de 360º (entrante).

Nombre de los polígonos

El nombre de los polígonos se deriva del número de sus lados, en la siguiente tabla encontrarás los polígonos que tienen hasta 20 lados. 

Observa la siguiente tabla y complétala

Puedes comprobar lo aprendido dando Clic aquí

Elementos y propiedades de los polígonos. 

Coloca el nombre y descripción de los elementos de los polígonos regulares:

GUÍA DE EXAMEN PRIMER PARCIAL

TEOREMA DE PITÁGORAS

    0bserva el siguiente video para que comprendas mejor

¿En donde lo usamos?

Arquitectura y construcción

La aplicación más obvia del Teorema de Pitágoras es en el mundo de la arquitectura y de la construcción, particularmente en referencia a tejados con formas triangulares y hastiales. El teorema se aplica sólo cuando se trabaja con triángulos rectángulos o triángulos con ángulos de 90 grados.

     Navegación

La triangulación es un método usado para señalar una localización cuando se conocen dos puntos de referencia. Cuando la triangulación se usa sobre un ángulo de 90 grados, se usa el Teorema de Pitágoras. Los celulares pueden rastrearse por triangulación. Los sistemas de navegación de vehículo usan este método. Puede usarse también junto con una brújula para determinar una localización geográfica. La NASA también usa la triangulación para determinar la posición  de las naves espaciales. La NASA envía una señal a la nave, la cual la devuelva. La triangulación usa estos números para calcular la posición de la nave en el espacio.

      Localización de un terremoto

Los geólogos también usan el Teorema de Pitágoras cuando sigue la actividad de un terremoto. Estos resultan de dos tipos de ondas: una que es más lenta que la otra. Triangulando la distancia que viaja la onda más rápida con la de la onda más lenta, los geólogos pueden determinar el centro o la fuente del terremoto.

   

     Investigación de la escena de un crimen

Los investigadores forenses usan el Teorema de Pitágoras para determinar la trayectoria de una bala. Esta muestra el camino de la bala antes de impactar. Esta trayectoria le dice a la policía el área de donde salió el proyectil. Los investigadores pueden también saberlo cerca que estaba el tirador de la víctima, lo que puede ayudar a la policía a determinar si fue un suicidio o un homicidio. El riego de sangre puede analizarse también con el Teorema de Pitágoras. Este rastro es el chorro de sangre de una víctima después del asalto. La policía usa estos cálculos para determinar el ángulo del impacto y las posiciones de la víctima y del asaltante durante la agresión.

    Trayectoria de un misil o de una bala

Los arqueros usan el Teorema de Pitágoras para determinar la trayectoria correcta necesaria para dar en el blanco. Si los cálculos son exactos, la flecha dará en el mismo. Si no, podría caer antes o errar la marca deseada. Los sistema de misiles guiados usan un método similar para dar con exactitud sobre un objetivo.

Encuentra el valor del lado faltante en cada uno de los siguientes triángulos.

Aplicaciones del Teorema de Pitágoras

Observa el video:

1.        La altura de un árbol es 20.45m y la sombra que proyecta es 13.6m. ¿qué distancia hay de la punta del árbol a la punta de la sombra?

2.        Un cono tiene 10.3 cm de radio y 28.4 cm de altura. ¿cuál es la longitud de su lado?

3.        Por una puerta de 85 cm de ancho y 120 cm de largo, se necesita pasar un espejo cuadrado de 2 m de lado, ¿será posible pasar el espejo sin quebrarlo?

4.        Un terreno rectangular mide 4825 m de largo y 3216 m de ancho y tiene en el centro una colina, por lo que se dificulta medir la diagonal del terreno. Encontrar la medida de la diagonal.

5.        Para sostener la torre de una antena de comunicaciones de 65 m de altura y darle mayor estabilidad, se requiere la colocación de tirantes de 115 m de longitud, desde el suelo a la parte más alta de la torre, ¿a qué distancia del pie de la torre se deben anclar los tirantes?

6.        Una casa tiene techo de dos aguas, las inclinaciones de las caídas son de 30º y 60º, y tiene una longitud de28.5 m y 17.4 m, ¿cuánto mide el ancho de la casa?

7.        Los propietarios de una casa quieren convertir a una rampa los escalones que llevan del suelo al porche. El porche está a 3 pies sobre el suelo, y debido a regulaciones de construcción, la rampa debe empezar a 12 pies de distancia con respecto al porche. ¿Qué tan larga debe ser la rampa?

8.        Se va a perforar un túnel por el que circula una vagoneta de 1.5 m de ancho por 0.8 m de alta. ¿Qué diámetro mínimo debe tener la sección del túnel?

9.        Una antena está sujeta  por 4 cables. El extremo superior de cada cable se sujeta a la antena a una altura de 40 m. El extremo inferior está amarrado al suelo a una distancia de 30 m de la base. ¿Cuántos metros de cable se han utilizado?

Una escalera de 6.5 m de longitud, está apoyada sobre la pared. El pie de la escalera dista de la base de la pared 2.5 m. ¿A qué altura se encuentra apoyada la escalera?

TRIÁNGULOS SEMEJANTES Y SUS APLICACIONES

Hablar de semejanza en la vida cotidiana tiene connotaciones muy amplias, por lo general cuando se usa el término semejanza entre dos personas u objetos, es para establecer algún parecido entre ambos, ya sea de forma, de color, de tamaño e incluso se habla de semejanza cuando, en realidad hay igualdad, por ejemplo.

1. El color de cabello de Lucía es semejante al color de Ana.

2. El plano de una casa es semejante a la misma.

3. La torre que se encuentra en el hotel París en las Vegas es semejante a la torre Eiffel en París.

4. Los gemelos Santiago y Sebastián son tan semejantes que es difícil distinguirlos.

La semejanza en este sentido, hace referencia a características que poseen las personas u objetos implicados.

En matemáticas, el término semejanza está íntimamente ligado al concepto de proporcionalidad. Dos objetos son semejantes cuando sus elementos guardan una proporción. Por ejemplo.

1. Cuando se desea hacer una maqueta de algún edificio, las medidas en ésta son proporcionales a las del objeto real, de tal manera que los espacios diseñados en la maqueta guardan una correspondencia real de los espacios del edificio, se dice que la maqueta es semejante al edificio.

2. Cuando una persona solicita la ampliación de una fotografía, la ampliación guarda una proporcionalidad con la foto original, por ello, ambas son semejantes.

Así como estos ejemplos, se podrían encontrar más, tanto en el entorno como en la aplicación de las

matemáticas.

Definición de semejanza de triángulos.

Dos triángulos son semejantes si tienen todos sus ángulos correspondientes iguales y sus lados homólogos son proporcionales.

ACTIVIDAD: Encuentra el valor de las incógnitas

En la aplicación de triángulos semejantes las unidades son importantes, en el caso de tener diferentes unidades, primero se debe hacer la conversión antes de realizar la proporcionalidad. 

Ejemplo 1. 

Osmar salió al patio del plantel y sus compañeros midieron al mismo tiempo su sombra y la del asta bandera, las  cuales fueron 96 cm y 2.56 m respectivamente, como se muestra en la figura, con esas medidas y la estatura de Osmar, que es de 1.60 m, pretenden calcular la altura del asta bandera. 

Ejemplo 2. 

Salma quiere calcular la altura de su casa utilizando un espejo, el proceso que utilizó fue el siguiente:

Salma está al pie de su casa y empieza a retirarse de ella, coloca el espejo en el piso cuando se encuentra a una distancia de 4.5 m, después se aleja del espejo siempre con la mirada fija en él, se detiene cuando ve por el espejo el punto más alto de la casa, hace una marca en el piso y mide la distancia del espejo a la marca, la cual fue de 1 m, procede a medir la distancia del piso a sus ojos la cual es de 1.25m y así poder dibujar en su cuaderno los triángulos formados y resolver su problema.

ACTIVIDAD: Traza el dibujo en los problemas que lo requieran, visualiza en él los triángulos semejantes y determina la proporción que te llevará a calcular lo que se te pide en cada uno. 

1. La altura de Héctor es de 1.86 m y la sombra que proyecta tiene una longitud de 95 cm; en ese mismo instante, un poste de luz eléctrica proyecta una sombra de 3.25 m. Encuentra la altura del poste. 

2. Zuri desea medir la altura a la que se encuentra un anuncio de Liverpool en Plaza Valle, para ello recurre a la técnica del espejo. Ella coloca el espejo a 8.25 m del pie de la base que sostiene el anuncio y se retira 1.82 m, a esa distancia ella observa el anuncio por el espejo. Si sus ojos están a una altura de 1.46 m, ¿cuál es la altura del anuncio? 

3. Ricardo tiene una estatura de 172 cm y se encuentra a 5 metros de la perpendicular que forma una lámpara de alumbrado público. Si con la lámpara encendida él proyecta una sombra de 120 cm de longitud, ¿qué altura tiene la lámpara?. 

4. Un poste vertical en la Alameda tiene 7 m se halla próximo a un árbol, también vertical y arroja una sombra de 6 m

Considerando el mismo instante resuelve lo siguiente

a) Hallar la altura del árbol si su sombra midiera 36 m

b) Hallar la sombra del árbol si su altura fuera 77 m

5. En una mesa se coloca una linterna y frente a ella, a 1.25 m de distancia, se encuentra un objeto de 57 cm de altura. Si la linterna está a 5.15 m de una pared donde se proyecta la imagen del objeto, ¿cuál es la altura de la imagen proyectada?  

TRIÁNGULOS CONGRUENTES

En nuestro entorno se encuentran múltiples figuras geométricas en las que es importante establecer la igualdad, por ejemplo, en la producción en serie de piezas para automóviles, aparatos de intervención quirúrgica, equipos electrónicos especializados, entre otros; en los cuales se requiere que las piezas sean exactamente iguales para el buen funcionamiento de las máquinas. Para mayor facilidad en las comparaciones de las piezas, se necesita establecer elementos importantes de las figuras para evitar las mediciones de todos los elementos de éstas, las cuales son producidas en serie.

En particular, los triángulos tienen 6 elementos de medición, como son tres ángulos y tres lados, con sólo medir 3 elementos claves de ellos se puede establecer la igualdad entre dos o más triángulos, de esta manera se ahorra tiempo en el resto de las mediciones entre las figuras.

Para ello se requiere desarrollar el concepto de congruencia y sus criterios, para establecer los elementos clave de la igualdad de triángulos.

Definición de triángulos congruentes.

Son aquellos que tienen la misma forma y tamaño, esto es, sus lados y ángulos correspondientes son iguales. Entonces, cuando se habla de congruencia de dos triángulos, se considera que los triángulos son iguales.

En los siguientes triángulos se observa la igualdad de medidas entre los elementos correspondientes, por lo que se dice que el triángulo ABC es congruente al triángulo RST 

Como se había mencionado anteriormente, sólo se requiere conocer 3 elementos clave para determinar la congruencia de dos triángulos, pero habrá que tener cuidado con los elementos que se eligen, puesto que no todos dan la congruencia entre los triángulos, por ejemplo, los siguientes triángulos poseen tres elementos homólogos y éstos son los ángulos, pero se observa que sus lados no poseen la misma medida, así que los triángulos STR y DEF, no son congruentes.

Criterios de congruencia.

1. Criterio Lado-Ángulo-Lado (L.A.L.). Si un triángulo tiene dos lados y el ángulo comprendido entre ellos, de igual medida a los correspondientes de otro triángulo, entonces los dos triángulos son congruentes.

2. Criterio Ángulo-Lado-Ángulo (A.L.A.). Si un triángulo tiene dos ángulos y el lado comprendido entre ellos, de igual medida a los correspondientes de otro triángulo, entonces los dos triángulos son congruentes.

3. Criterio Lado-Lado-Lado (L.L.L.). Si un triángulo tiene sus tres lados iguales a los correspondientes de otro triángulo, entonces los dos triángulos son congruentes.

Cuando se establece la igualdad entre elementos homólogos (correspondientes), es conveniente colocar una marca en ambas figuras para poder distinguir el criterio con el cual se establecerá la congruencia entre los triángulos.

Por ejemplo, las marcas en los triángulos ABC y DEF, muestran el criterio de congruencia que establece la igualdad entre ellos, en este caso es L.A.L.

ACTIVIDAD 1: Observa las parejas de triángulos, determina el criterio que establece la congruencia entre ellos y escríbelo en el espacio correspondiente

ACTIVIDAD 2: Sabiendo que los triángulos I y II son congruentes, calcula el valor de las incógnitas.

EJERCICIOS DE ÁNGULOS USANDO LAS PROPIEDADES DE LOS TRIÁNGULOS